Lời giải:
a. Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm) 

$AH=2S_{ABC}:BC=AB.AC:BC=6.8:10=4,8$ (cm) 

$\sin B = \frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

b.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$BE.BA=BH^2$

$AF.AC=AH^2$
$\Rightarrow BE.BA+AF.AC=BH^2+AH^2=AB^2$ (đpcm)

Hình vẽ:

a: ΔABC vuông tại A

=>BC^2=AB^2+AC^2

=>AB^2=5^2-4^2=9

=>AB=3(cm)

ΔABC vuông tại A có sin B=AC/BC=4/5

nên \(\widehat{B}\simeq53^0\)

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2

=>BH=3^2/5=1,8cm

b: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

a/

\(AH^2=HB.HC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{4.9}=6cm\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\)

b/

Xét tg vuông AHB có

\(HB^2=BD.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông AHC có

\(HC^2=CE.AC\) (lý do như trên)

\(CE.BD.AC.AB=HB^2.HC^2=\left(HB.HC\right)^2\)

Mà \(HB.HC=AH^2\) (cmt)

\(\Rightarrow CE.BD.AC.AB=AH^4\)

c/

\(HD\perp AB;AC\perp AB\) => HD//AC => HD//AE

\(HE\perp AC;AB\perp AC\) => HE//AB => HE//AD

=> ADHE là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => ADHE là HCN

Xét tg vuông ADH và tg vuông ADE có

HD = AE (cạnh đối HCN)

AD chung

=> tg ADH = tg ADE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AHD}\) 

\(\widehat{AHD}=\widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\) ) 

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{B}\) (1)

\(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\) (2)

\(\widehat{IAE}+\widehat{AED}=90^o\Rightarrow\widehat{IAE}+\widehat{B}=90^o\)  (3)

Từ (2) và (3) => \(\widehat{IAE}=\widehat{C}\) => tg AIC cân tại I => IA=IC

Ta có

\(\widehat{IAE}+\widehat{BAI}=\widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{BAI}=90^o\) mà \(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{B}\) => tg ABI cân tại I => IA=IB

Mà IA= IC (cmt)

=> IB=IC => I là trung điểm của BC

Bạn tự vẽ hình.

(a) \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

+) \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow\hat{B}\approx53^o\)

+) \(\hat{C}=90^o-\hat{B}\approx90^o-53^o=37^o\)

(b) +) \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

\(\hat{A}=\hat{E}=\hat{F}=90^o\left(gt\right)\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(EF=AH\left(đpcm\right)\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=64\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8\left(cm\right)\\BH=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

AE/AC=AF/AB

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔACB

c: Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CB}{CD}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB+BC}{AD+CD}=\dfrac{AB+BC}{AC}\)(1)

ΔBAD vuông tại A có

\(cotABD=\dfrac{AB}{AD}\)(2)

BD là phân giác của góc ABC

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(cotDBC=\dfrac{AB+BC}{AC}\)

a) AEHF có 3 góc vuông nên là HCN.

b) Theo hệ thức lượng: AE.AB = AH² ; AF.AC = AH²  => AE.AB = AF.AC.

a: góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hcn

b: ΔHAB vuông tại H có HE vuông góc AB

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF vuông góc AC

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(Định lý Pytago)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}\Rightarrow AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

Xét tứ giác AEHF có:

\(\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=90^0\)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> \(EF=AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABH và tam giác AHC vuông tại H:

\(AH^2=AE.AB\)

\(AH^2=AF.AC\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=10^2-6^2=64\)

hay AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

hay AH=4,8(cm)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH=EF

hay FE=4,8(cm)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)